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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus PDF

By Dirk Ferus

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Auch f¨ ur die rationalen Funktionen wollen wir Normalformen untersuchen. Dabei ist es wieder einfacher, komplexe rationale Funktionen, also die Quotienten zweier komplexer Polynome, zu betrachten. Dann ist eine m¨ogliche Normalform h(z) = A (z − w1 )l1 . . (z − ws )ls (z − z1 )k1 . . (z − zr )kr mit A ∈ C, positiven Exponenten k1 , . . , kr , l1 , . . , ls ∈ N \ {0} und paarweise verschiedenen z1 , . . , zr , w1 , . . , ws ∈ C. Eine weitere Normalform rationaler Funktionen wird insbesondere in der Integrationstheorie n¨ utzlich sein.

W¨ ahle δ = min(1, 2k−1 k ). Ist dann |z − 1| < δ, so ist insbesondere |z| < 2. Aus der vorstehenden Absch¨ atzung folgt deshalb f¨ ur alle z ∈ C: |z − 1| < δ =⇒ |z k − 1| < δ k 2k−1 ≤ . 60 Beispiel 108. Betrachten Sie die beiden nachstehenden Funktionen sehr sorgf¨altig, um die Grenzwertdefinition genau zu verstehen: f : ] − ∞, 0 [ ∪ {1} → R f (x) := −1 f¨ ur x < 0, f (1) := 1. Hier liegt 0 nicht im Definitionsbereich, aber limx→0 f (x) = −1. Anderseits ist 1 kein H¨aufungspunkt des Definitionsbereichs, so dass limx→1 f (x) nicht erkl¨art ist.

Die Fibonacci-Folge ist gegeben durch a0 = a1 = 1, an+2 = an + an+1 . 38 (21) Das ergibt (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . ). Diese Folge hat zu tun mit der Vermehrung von Kaninchen. Sie besitzt eine eigene Zeitschrift. Beispiel 62. Eine weitere rekursiv definierte Folge ist die“ Collatz-Folge: Man beginnt mit ” einer beliebigen nat¨ urlichen Zahl c0 und definiert   3cn + 1 falls cn ungerade und = 1, cn+1 := (cn )/2 falls cn gerade,   1 falls cn = 1. Also etwa 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 1, 1, .

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by Joseph
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